Mais ovos mexidos

Quando respondi à pergunta do Bruno sobre as diferenças entre a inflação implícita (a diferença entre taxas pré e pós-fixadas) e a expectativa Focus, mencionei que havia motivos teóricos para isto e que postaria a respeito.


A abordagem vem do CAPM de consumo, exposto, por exemplo, no capítulo 10 do Lectures on Macroeconomics, de Blanchard e Fischer. Divirtam-se.

* * *

Considere um agente que vive dois períodos (isto é facilmente generalizável para “n” ou infinitos períodos), maximizando o valor presente esperado da utilidade nos dois períodos:

                 [1]

Onde  é positivo, mas menor que 1.

Imagine, por agora, que a única forma de carregar riqueza é através de um título de renda fixa com retorno nominal i, de tal forma que o valor presente esperado do consumo (nominal) nos dois períodos tenha que ser igual ao valor presente esperado nominal da renda nos dois períodos, isto é:

                      [2]

onde  é o nível de preços no período t. No caso, supomos que  seja conhecido, mas  não.

Resolvendo o problema de maximizar a utilidade esperada, sujeita à restrição acima achamos a seguinte equação de Euler:

                [3]

onde      é a taxa de inflação entre os períodos (1) e (2).

Suponha agora que haja um título indexado à inflação com taxa real de juros r. Não há mais incerteza acerca do nível de preços no período (t+1), nem, portanto, sobre a taxa de inflação.

Resolvendo novamente o problema de maximização achamos uma nova equação de Euler:

             [4]

Caso os dois instrumentos (o título prefixado e o indexado à inflação) estejam disponíveis, a arbitragem entre eles deve garantir que a utilidade marginal do consumo no primeiro período seja a mesma independente do instrumento escolhido para carregar a riqueza para o segundo período. Em outras palavras, as taxas “i” e “r”devem se ajustar de forma a tornar a investidora indiferente à escolha do instrumento.

Assim, usando as expressões [3] e [4] achamos:

        [5]

No entanto:

     [6]

Usando esta expressão acima em [4] e denotando a covariância entre a utilidade marginal no segundo período e o inverso da taxa de inflação por R, podemos mostrar que:

     [6a]

onde:

        [6b]

Para que a diferença entre a taxa nominal de juros, i, e a taxa real de juros, r, fosse a expectativa de inflação, isto é, para que:

 [7]

seria necessário que três condições valessem simultaneamente:

  [8]

  [9]

  [10]

A condição [8] só é válida se a utilidade for quadrática, o que implicaria utilidade marginal linear (o caso de equivalência de certeza). (Também é válida se a utilidade for linear, mas este caso é pouco interessante).

A condição [9] viola a desigualdade de Jensen. Como 1/(1+p) é uma função estritamente convexa, a desigualdade de Jensen implica que:

Já a condição [10] só valeria caso a consumidora seja neutra com relação a risco. Para ver isto suponha, por um segundo, que a consumidora seja avessa a risco (i.e., u”[C]<0). Neste caso se o inverso da inflação aumenta (isto é a inflação cai), o consumo no segundo período para quem investiu no papel prefixado aumenta. Neste caso, a utilidade marginal do consumo em (2) cai (porque u”[C]<0), ou seja, a covariância seria negativa (o aumento de 1/(1+p) implicaria queda de u’[C(t+1)].

Pelo mesmo raciocínio, caso a consumidora seja amante do risco (i.e., u”[C]>0), a covariância seria positiva. Apenas no caso de neutralidade com relação a risco (função utilidade linear) é que a covariância seria nula.

Voltando ao caso de aversão a risco (R<0), imagine, também por um segundo, que as condições [8] e [9] fossem, magicamente, válidas. A equação [6a] se tornaria:

                   [11]

Ou seja, quando a consumidora é avessa a risco, a taxa nominal tem que embutir um prêmio de risco superior à expectativa de inflação (e à taxa real de juros), para compensar a consumidora da incerteza quando ao preço (e, portanto, consumo) futuro. Mesmo se os riscos fossem igualmente divididos (digamos, 50-50) quanto ao nível de preços, uma consumidora avessa a risco acharia esta situação menos interessante do que garantir o consumo futuro com certeza aplicando num título indexado à inflação.

Este fenômeno tende a elevar a taxa nominal de juros (e, portanto, a inflação implícita) para além da “verdadeira” expectativa de inflação, E(1+p). A inflação implícita, assim, seria uma medida viesada da expectativa de inflação, a menos do caso de neutralidade com relação ao risco.

Deixo para os leitores mais interessados os sinais dos desvios esperados da inflação implícita com respeito à expectativa de inflação que decorrem das condições [8] e [9]. (Dica: para cada condição, suponha que as demais sejam atendidas).

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